Fjármálahugtök

Keldan hefur tekið saman helstu hugtök sem notuð eru í fjármálageiranum og birtir hér nokkur dæmi um notkun.

Fjármálastjórnun
Vextir
Tímavirði peninga
Áhætta og ávöxtun
Skuldabréf
Ársreikningurinn
Kennitölur í ársreikningum
Fjármagnskostnaður
Verðmat fyrirtækja

Fjármálastjórnun

Virði fyrirtækis er lykilstærð í allri fjármálastjórnun og ræðst hún einkum af þrennu; (1) stærð frjálsa fjárstreymisins (e. free cash flow, FCF) sem fyrirtækið skapar ásamt (2) tímasetningu og (3) áhættu þessa fjárstreymis.

Áhætta og fjármagnskostnaður haldast að öðru óbreyttu í hendur, en nánar verður fjallað um áhættu og ávöxtun í 4. hluta. Veginn fjármagnskostnaður (e. weighted average cost of capital, WACC) er sú meðal ávöxtunarkrafa sem allir fjárfestar gera til fyrirtækis. Virði fyrirtækis má lýsa með eftirfarandi jöfnu:

1.1

Virði =

\frac{F C F_{1}}{(1 + W A C C)^{1}} + \frac{F C F_{2}}{(1 + W A C C)^{2}} + \dots + \frac{F C F_{\infty}}{(1 + W A C C)^{\infty}}

Nánar er vikið að frjálsu fjárstreymi (FCF) í 6. hluta, vegnum fjármagnskostnaði (WACC) í 8. hluta og virði fyrirtækja í 9. hluta.

Vextir

Vextir eru gjald sem lántakandi greiðir fyrir afnotarétt fjármagns um tiltekinn tíma og eru vextir því tímatengdur kostnaður. Í nær öllum tilfellum eru vextir settir fram á ársgrundvelli og sem hundraðshluti af höfuðstól lánsins. Vöxtum má skipta í tvær tegundir; (1) flata vexti og (2) vaxtavexti, en munurinn felst í því hvort vextir eru reiknaðir af áður áföllnum vöxtum eða ekki.

Flatir vextir (e. simple interest)

Ef vextir reiknast eingöngu af höfuðstól er talað um flata vexti eða einfalda vexti.

2.1

Vaxtagreiðsla =

P \cdot i \cdot n

2.2

Höfuðstóll í lok tímabils =

S = P + (P \cdot i \cdot n)

P = höfuðstóll í upphafi tímabils
i = nafnvextir
n = tími (í árum)

Dæmi 2-1

Gunnar kaupir skuldabréf að nafnverði 100.000 kr. sem ber 6% nafnvexti og með gjalddaga eftir hálft ár. Hver verður vaxtagreiðslan og hvað fær hann endurgreitt?

Vaxtagreiðslan verður 100.000 · 6% · 0,5 = 3.000 kr. og Gunnar fær því endurgreiddar 100.000 + 3.000 = 103.000 kr. í lok tímabilsins

Vaxtavextir (e. compound interest)

Ef vextir reiknast af höfuðstól ásamt áður áföllnum vöxtum er talað um vaxtavexti eða samsetta vexti.

2.3

Vaxtagreiðsla =

P \cdot ((1 + i)^{n} - 1)

2.4

Höfuðstóll í lok tímabils =

S = P \cdot (1 + i)^{n}

P = höfuðstóll í upphafi tímabils
i = nafnvextir
n = tími (í árum)

Dæmi 2-2

Jón kaupir skuldabréf að nafnverði 100.000 kr. sem ber 6% nafnvexti og með gjalddaga eftir þrjú ár. Hver verður vaxtagreiðslan og hvað fær hann endurgreitt?

Vaxtagreiðslan verður 100.000 · ((1+0,06)³ - 1) ≈ 19.102 kr. og Jón fær því endurgreiddar 100.000 + 19.102 = 119.102 kr. (≈ 100.000 · (1+0,06)³).

Í dæminu um Jón er gert ráð fyrir því að 6% nafnvextirnir reiknist árlega, en það er einmitt venjan ef annað er ekki tekið fram. En þar sem vaxtavextir reiknast bæði af höfuðstól og áður áföllnum vöxtum, skiptir öllu máli hversu oft á hverju tímabili þessir vextir eru reiknaðir. Vaxtavöxtum má því skipta upp í þrjár tegundir; (1) þá sem reiknast árlega (e. annual compounding), sbr. dæmi 2–2 hér að ofan, (2) tímabilsvexti (e. periodic compounding) og (3) samfellda vexti (e. continuous compounding).

Tímabilsvextir (e. periodic compounding)

Þegar vaxtavextir eru reiknaðir oftar en einu sinni á ári er talað um tímabilsvexti eða hlutfallsvexti. Fjöldi vaxtatímabila segir þá til um hversu oft vextir eru reiknaðir á ári.

2.5

Vaxtagreiðsla =

P \cdot ((1 + \frac{i}{m})^{n \cdot m} - 1)

2.6

Höfuðstóll í lok tímabils =

S = P \cdot (1 + \frac{i}{m})^{n \cdot m}

P = höfuðstóll í upphafi tímabils
i = nafnvextir
n = tími (í árum)
m = fjöldi vaxtatímabila á ári

Dæmi 2-3

Einar leggur 100.000 kr. inn á bankabók sem gefur 4% nafnvexti og reiknast þeir hálfsárslega. Hvað fær Einar mikla vexti eftir eitt ár og hver verður innistæðan?

Vaxtagreiðslan verður 100.000 · ((1+0,04/2)^{1 · 2} - 1) ≈ 4.040 kr. og innistæðan inni á bankabókinni því 100.000 + 4.040 = 104.040 kr. (≈ 100.000 · (1+0,04/2)^{1 · 2}).

Samfelldir vextir (e. continuous compounding)

Ef 4% nafnvextirnir á bankabókinni hans Einars hefðu reiknast árlega, þá hefði hann aðeins fengið 100.000 · ((1+0,04) – 1) = 4.000 kr. vexti í lok ársins. Hann fær því 40 kr. aukalega þar sem vextirnir á bankabókinni reiknast hálfsárslega eða tvisvar sinnum á ári. Hefðu þeir reiknast ársfjórðungslega eða fjórum sinnum á ári, hefði hann fengið 60 kr. aukalega, og hefðu þeir reiknast mánaðarlega eða tólf sinnum á ári, hefði hann fengið 74 kr. aukalega. Af þessu er freistandi að draga þá ályktun að því oftar sem vextir eru reiknaðir á ári því hærri verður vaxtagreiðslan. Stærðfræðingurinn Leonhard Euler gerði hins vegar þá merku uppgötvun að svo er ekki. Hann sýndi fram á að $lim_{m \to \infty} (1 + \frac{i}{m})^{m} = e \approx 2, 71828$ , en í dag er þessi mikilvæga tala gjarnan kölluð tala Eulers. Uppgötvun Eulers sýnir okkur að ef nafnvextirnir á bankabókinni hans Einars hefðu reiknast óendanlega oft á ári eða reiknast samfellt, þá hefði hann fengið 81 kr. aukalega. Þessu er betur lýst í dæmi 2–4. Í þessum tilfellum er talað um samfellda vexti og er tala Eulers notuð til útreikninga á þeim.

2.7

Vaxtagreiðsla =

P \cdot (e^{i \cdot n} - 1)

2.8

Höfuðstóll í lok tímabils =

S = P \cdot e^{i \cdot n}

P = höfuðstóll í upphafi tímabils
i = nafnvextir
n = tími (í árum)
e = 2,71828...

Dæmi 2-4

Magnús leggur 100.000 kr. inn á bankabók sem gefur 4% nafnvexti og reiknast þeir samfellt. Hvað fær Magnús mikla vexti eftir eitt ár og hver verður innistæðan?

Vaxtagreiðslan verður 100.000 · (e^{0,04 · 1} - 1) ≈ 4.081 kr. og innistæðan inni á bankabókinni því 100.000 + 4.081 = 104.081 kr. (≈ 100.000 · e^{0,04 · 1}).

Virkir ársvextir (e. effective annual rate)

Það er ljóst að Magnús fær betri kjör hjá sínum banka heldur en Einar, en engu að síður fá þeir báðir 4% nafnvexti. Til að bera saman fjárfestingar með ólíkum fjölda vaxtatímabila, eru nafnvextir þeirra umreiknaðir eins og þeir væru reiknaðir árlega. Þessir umreiknuðu nafnvextir kallast virkir ársvextir. Þegar umreikna skal tímabilsvexti yfir í virka ársvexti má notast við eftirfarandi jöfnu:

2.9

Virkir ársvextir =

(1 + \frac{i}{m})^{m} - 1

i = nafnvextir
m = fjöldi vaxtatímabila á ári

Þegar umreikna skal samfellda vexti yfir í virka ársvexti gildir:

2.10

Virkir ársvextir =

e^{i} - 1

i = nafnvextir

Dæmi 2-5

Berið saman þá virku ársvexti sem Einari bjóðast úr dæmi 2–3 og þá sem Magnúsi bjóðast úr dæmi 2–4.

Virkir ársvextir (Einar) = (1+0,04/2)² – 1 = 4,04%
Virkir ársvextir (Magnús) = e^0,04 – 1 ≈ 4,08%

Sett upp í Microsoft ® Excel

EFFECT fallið skilar virkum ársvöxtum að gefnum nafnvöxtum og fjölda vaxtatímabila. NOMINAL fallið skilar nafnvöxtum að gefnum virkum ársvöxtum og fjölda vaxtatímabila.

Raunvextir (e. real interest rate)

Með nafnvöxtum (e. nominal interest rate) er átt við vexti sem reiknast án tillits til verðlags, en með raunvöxtum (e. real interest rate) er átt við vexti umfram verðlagsbreytingar á sama tíma. Raunvextir eru því jákvæðir ef nafnvextir eru hærri en verðbólga á tilteknu tímabili. Raunvexti má leiða út frá jöfnu Fishers á eftirfarandi hátt:

2.11

Raunvextir =

\frac{1 + i}{1 + π} - 1

i = nafnvextir
π = verðbólga

Markaðsvextir (e.market interest rates)

Markaðsvextir allra skuldatrygginga eru byggðir upp af raunvöxtum ríkisverðbréfa ásamt hinum ýmsu tegundum af vaxtaálagi.

2.12

Markaðsvextir =

r = r^{*} + I P + D R P + L P + M R P = r_{R F} + D R P + L P + M R P

r^* = raunvextir ríkisverðbréfa (e. real risk-free rate of interest)
IP = verðbólguálag (e. inflation premium)
r^* + IP = r_RF = vextir af ríkisvíxlum (e. quoted risk-free rate of interest on treasury bill)

DRP = greiðslufallsálag (e. default risk premium)
LP = lausafjárálag (e. liquidity/marketability premium)
MRP = gjalddagaálag/endurfjárfestingarálag (e. maturity risk premium)

Tímavirði peninga

Virði allra fjárfestinga byggist að svo miklu leyti á tímasetningu fjárstreymis að erfitt er að finna greinar innan fjármála sem skipta meira máli en tímavirði peninga (e. time value of money).

Tímalínan

Mikilvægasta hjálpartækið við útreikninga á tímavirði peninga er tímalínan.

Tími 0 táknar hér tímann í dag. Tími 1 táknar tímann eftir eitt tímabil (eða endann á tímabili 1). Tími 2 táknar tímann eftir tvö tímabil og tími 3 eftir þrjú tímabil. Vextir á tímabili 1 til 3 eru hér sagðir 5%. Núvirði (e. present value, PV) er alltaf staðsett á tíma 0, en framtíðarvirði (e. future value, FV) er hægt að staðsetja á enda hvers tímabils og er oft táknað FVn, þar sem n táknar viðkomandi tímabil.

Framtíðarvirði (e. future value)

Ávöxtun (e. compounding) kallast sú aðgerð að reikna framtíðarvirði (FV_n) miðað við gefið núvirði (PV) og gefna vexti. Framtíðarvirði (FV_n) einstakrar greiðslu er:

3.1

F V_{n} = P V \cdot (1 + i)^{n}

FV_n = framtíðarvirði tímabils n
PV = núvirði
i = vextir
n = fjöldi tímabila

Dæmi 3-1

Gunnar ætlar að ávaxta 100.000 kr. í tvö ár. Hann gerir kröfu um að fá 5% ávöxtun á ári. Hvaða fjárhæð fær hann eftir tvö ár?

Eftir tvö ár fær hann 100.000 · (1 + 0,05)² = 110.250 kr.

Núvirði (e. present value)

Afvöxtun (e. discounting) kallast sú aðgerð að reikna núvirði (PV) miðað við gefið framtíðarvirði (FV_n) og gefna fórnarvexti (e. opportunity cost rate), en það eru vextir af besta mögulega fjárfestingarvalkosti með jafn mikla áhættu. Núvirði (PV) einstakrar greiðslu er:

3.2

P V = \frac{F V_{n}}{(1 + i)^{n}}

FV_n = framtíðarvirði tímabils n
PV = núvirði
i = fórnarvextir
n = fjöldi tímabila

Dæmi 3-2

Magnús þarf að greiða 100.000 kr. eftir tvö og hálft ár. Ef vextir á markaðnum verða 5% á tímabilinu, hvað þarf hann að leggja fyrir í dag til að eiga fyrir greiðslunni?

Hann þarf að leggja fyrir 100.000/((1 + 0,05)^2,5) ≈ 92.063 kr.

Jafngreiðslur (e. annuity)

Jafngreiðslur eru skilgreindar sem runa af jafnháum greiðslum, sem inntar eru af hendi með reglulegu millibili, í tiltekinn tíma. Venjulegar jafngreiðslur (e. ordinary annuity) eiga sér stað í enda tímabils, en framsettar jafngreiðslur (e. annuity due) eiga sér stað í byrjun tímabils. Eilífðar jafngreiðslur (e. perpetuity) er straumur jafnra greiðslna sem er áætlað að eigi sér stað að eilífu.

Framtíðarvirði jafngreiðsluraðar:

3.3

F V A_{n} = P M T \cdot \sum_{t = 1}^{n} (1 + i)^{n - t} = P M T \cdot (\frac{(1 + i)^{n} - 1}{i})

FVA_n = framtíðarvirði jafngreiðsluraðar í n tímabil
PMT = jafngreiðsla
i = vextir
n = fjöldi tímabila

Núvirði jafngreiðsluraðar:

3.4

P V A_{n} = P M T \cdot (\frac{1 - (1 + i)^{- n}}{i})

PVA_n = núvirði jafngreiðsluraðar í n tímabil
PMT = jafngreiðsla
i = vextir
n = fjöldi tímabila

Núvirði eilífðar jafngreiðslna (e. perpetuity):

3.5

P V P = \frac{P M T}{i}

PVP = núvirði eilífðar jafngreiðslna
PMT = jafngreiðsla
i = vextir

Sett upp í Microsoft ® Excel

Stærðir sem notaðar eru í útreikninum á tímavirði peninga er hægt að reikna með eftirfarandi föllum:

NPER (= n) reiknar fjölda tímabila.
RATE (= i) reiknar tímabilsvexti.
PV reiknar núvirði greiðslna.
PMT reiknar jafngreiðslu.
FV reiknar framtíðarvirði.

Í hverju þessara fimm falla geta gildi hinna fjögurra verið breytistærðir.

Áhætta og ávöxtun

Harry Markowitz lýsti sambandi áhættu og ávöxtunar í greininni Portfolio Selection árið 1952 og hefur síðan oft verið nefndur faðir safnakenninganna (e. modern portfolio theory, MPT). Í greininni lýsti hann því hvernig líta mætti á áhættu í eignasafni sem sveiflur í ávöxtun og að hana mætti mæla með staðalfráviki (e. standard deviation) í ávöxtun eignasafnsins.

Áhætta verðbréfa

Áhættu af stöku verðbréfi er hægt að skipta upp í tvo hluta; (1) markaðsáhættu (e. market risk) og (2) fyrirtækjaáhættu (e. company-specific risk). Fjárfestar geta varist fyrirtækjaáhættunni með því að velja og fjárfesta í vel dreifðu verðbréfasafni. Áhætta hvers verðbréfasafns (e. portfolio risk, σ_p) minnkar þess vegna þegar fjöldi vel dreifðra verðbréfa í safninu eykst og stefnir á meðaláhættuna á markaðinum eða markaðsáhættuna (e. market risk, σ_M) eins og sést á mynd 4–1.

Þegar stöku verðbréfi er bætt við vel dreift verðbréfasafn, hefur því aðeins markaðsáhætta bréfsins áhrif á safnið. Markaðsáhættu verðbréfs er hægt að mæla með beta stuðli (b), en betan sýnir hversu mikið verð á verðbréfi breytist í hlutfalli við sveiflur á markaðinum í heild.

Betagildi markaðssafnsins (e. market portfolio), sem er safn allra verðbréfa á markaðinum, er ávallt 1, en beta einstakra verðbréfa er hægt að finna með einfaldri aðhvarfsgreiningu (e. regression analysis). Betagildi er skilgreint sem línulegur metill þeirrar greiningar.

4.1

b_{i} = (\frac{σ_{i}}{σ_{M}}) \cdot ρ_{i M}

b_i = betagildi fyrir verðbréf i
σ_i = staðalfrávik á ávöxtun verðbréfs i
σ_M = staðalfrávik á ávöxtun markaðssafnsins
ρ_iM = fylgni á milli ávöxtunar verðbréfs i og ávöxtunar markaðssafnsins

Samband áhættu og ávöxtunar

Best þekkta og mest notaða líkanið til að lýsa sambandinu á milli áhættu og ávöxtunar er fjármunaverðlíkanið (e. capital asset pricing model, CAPM), en það skýrir fræðilegt samband markaðsáhættu, mældrar með betu, og ávöxtunarkröfu.

4.2

r_{i} = r_{R F} + (r_{M} - r_{R F}) \cdot b_{i} = r_{R F} + (R P_{M}) \cdot b_{i}

r_i = ávöxtunarkrafa verðbréfs i
r_M = ávöxtunarkrafa markaðssafnsins
r_RF = vextir af ríkisvíxlum (e. risk-free rate of return)

RP_M = r_M - r_RF = áhættuþóknun markaðarins
b_i = betagildi verðbréfs i
(r_M - r_RF) · b_i = áhættuþóknun verðbréfs i

Dæmi 4-1

Vextir af ríkisvíxlum eru 6% og áhættuþóknun markaðarins er 5%. Hlutabréf hefur betagildi 0,5. Hver er ávöxtunarkrafa bréfsins?

Ávöxtunarkrafan er 6% + 5% · 0,5 = 8,5%

Út frá jöfnu 4–2 er hægt er teikna svokallaða verðbréfamarkaðslínu (e. security market line, SML) sem lýsir ávöxtunarkröfu verðbréfs i sem falli af betagildi bréfsins:

Á mynd 4–1 eru vextir af ríkisvíxlum 6% og áhættuþóknun markaðarins 5% og ávöxtunarkrafa markaðssafnsins því 11%. Eins og í dæminu hér að ofan sést einnig hvernig ávöxtunarkrafa bréfsins er 8,5% þegar betagildið er 0,5. Þar að auki má sjá hvernig áhættuþóknun bréfs með betagildi 2 væri 10% og ávöxtunarkrafan því 16%.

Hagkvæm verðbréfasöfn (e. efficient portfolios)

Verðbréfasafn er sagt hagkvæmt eða skilvirkt ef það er þannig samsett að ekki er hægt að auka ávöxtun án þess að auka um leið áhættu og ekki er heldur hægt að draga úr áhættu án þess að minnka um leið ávöxtun.

Gula svæðið á mynd 4–2 sýnir öll möguleg söfn (e. feasible set) verðbréfanna A, H, G, og E. Kúrfan BNME sýnir svokallaða framlínukúrfu (e. efficient frontier), en á henni er að finna öll hagkvæm verðbréfasöfn (e. efficient portfolios) þessara fjögurra verðbréfa. Allar samsetningar af áhættu og ávöxtun sem veita fjárfesti með ákveðið áhættuþol (e. risk tolerance) sömu nytsemi má lýsa með jafngildislínunni I_n. Ef aðeins verðbréfin fjögur stæðu fjárfestinum til boða myndi hann því hámarka nytsemi sína með því að fjárfesta í verðbréfasafninu N, sem kallast hans besta safn (e. optimal portfolio). Ef þessi sami fjárfestir gæti líka keypt áhættulausa ríkisvíxla sem eru í punktinum r_RF, þá gæti hann aukið nytsemi sína enn frekar með því að kaupa verðbréfasafnið R, sem er blanda af verðbréfasafni M og ríkisvíxlum, enda færist hann þannig úr jafngildislínunni I₁ yfir í I₂

Línan r_RFMZ er kölluð fjármagnsmarkaðslína (e. capital market line, CML) og er hún alltaf hærri en framlínukúrfan, nema í snertipunktinum M. Þess vegna er hagkvæmast fyrir alla fjárfesta að eiga verðbréfasafnið M og kaupa eða selja ríkisvíxla eftir því hversu mikla áhættu þeir þola. Fjármagnsmarkaðslínunni má lýsa með eftirfarandi jöfnu:

4.3

r_{p} = r_{R F} + (\frac{r_{M} - r_{R F}}{σ_{M}}) \cdot σ_{p}

r_p = vænt ávöxtun verðbréfasafns p
r_M = vænt ávöxtun markaðssafnsins
r_RF = vextir af ríkisvíxlum (e. risk-free rate of return)

σ_p = staðalfrávik á ávöxtun verðbréfasafns p
σ_M = staðalfrávik á ávöxtun markaðssafnsins

Fama-French three-factor model

CAPM verðlíkanið sem hér hefur verið lýst notar aðeins eina breytistærð, betuna, til að meta markaðsáhættu verðbréfa. Verðlíkan Eugene Fama og Kenneth French notar hins vegar þrjár breytistærðir, en til viðbótar við áhættuþóknun markaðarins byggjast þær einnig á markaðsvirði og I/V hlutfalli (sjá 7. hluta um kennitölur) fyrirtækisins.

4.4

r_{i} = r_{R F} + a_{i} + (r_{M} - r_{R F}) \cdot b_{i} + (r_{S M B}) \cdot c_{i} + (r_{H M L}) \cdot d_{i}

r_i = ávöxtunarkrafa verðbréfs i
r_RF = vextir af ríkisvíxlum (e. risk-free rate of return)
a_i = alfa verðbréfs i

r_M = ávöxtunarkrafa markaðssafnsins
r_SMB = ávöxtunarkrafa fyrirtækja með lágt markaðsvirði umfram þeirra með hátt
r_HML = ávöxtunarkrafa fyrirtækja með hátt I/V hlutfall umfram þeirra með lágt

c_i og d_i = metlar sem fundnir eru með einfaldri aðhvarfsgreiningu

Önnur verðlíkön

Hagfræðingurinn Steven Ross hjá MIT þróaði verðlíkan sem kallast Arbitrage Pricing Theory, en það byggist á því að nota eins margar breytistærðir til að meta áhættu og þörf er á hverju sinni. Greinar innan atferlisfjármála (e. behavioral finance) byggjast jafnframt á því að verðmeta verðbréf út frá sálfræðilegum greiningum á órökrænni en fyrirsjáanlegri hegðun fjárfesta við ýmsar aðstæður.

Skuldabréf

Skuldabréf eru mikilvægasti flokkur verðbréfa hvar sem er í heiminum, enda mótast markaðsvextir hvers lands af viðskiptum með þau í samræmi við lögmál framboðs og eftirspurnar. Skuldabréf eins og önnur verðbréf eru í upphafi seld á frummarkaði (e. primary market), en þar sem þau eru framseljanleg ganga þau kaupum og sölum á eftirmarkaði (e. secondary market) eftir að þau hafa verið gefin út.

Tegundir skuldabréfa

Eingreiðslubréf (e. zero-coupon bond)

Bera ekki nafnvexti. Endurgreiðast með einni greiðslu höfuðstóls í lok lánstímans.

Dæmi: Eingreiðslubréf til 10 ára selt á genginu 60.

Kúlubréf (e. bullet bond)

Bera nafnvexti sem leggjast reglulega við höfuðstólinn. Endurgreiðast með einni greiðslu upphaflegs höfuðstóls, vaxta og vaxtavaxta.

Dæmi: Kúlubréf til 10 ára með 5% nafnvöxtum selt á pari.

Vaxtagreiðslubréf (e. coupon bond)

Áunnir vextir sérhvers tímabils eru greiddir í lok hvers tímabils. Engin afborgun af höfuðstól fyrr en á lokagjalddaga.

Dæmi: Vaxtagreiðslubréf til 10 ára með árlegum greiðslum og 20% nafnvöxtum selt á genginu 90.

Jafngreiðslubréf (e. annuity)

Allar greiðslur á bréfinu jafn háar. Greiðsla = afborgun + áunnir vextir tímabils.

Dæmi: Jafngreiðslubréf til 10 ára með 10% nafnvöxtum og selt á genginu 85.

Bréf með föstum afborgunum (e. fixed principal bond)

Allar afborganir höfuðstóls jafn háar. Áunnir vextir sérhvers tímabils greiddir í lok tímabils.

Dæmi: Bréf með jöfnum afborgunum til 10 ára með 12% nafnvöxtum og selt á genginu 80.

Eilífðarbréf (e. perpetuity)

Eilífðarbréf bera fastar reglulegar vaxtagreiðslur að eilífu. Höfuðstóllinn verður aldrei endurgreiddur.

Dæmi: Eilífðarbréf með 20% nafnvöxtum selt á pari.

Verðtryggð skuldabréf (e. inflation-indexed bonds)

Ef skuldabréf er óverðtryggt eru ákvæðisvextir nafnvextir bréfsins. Verðbólga hefur því ekki áhrif á fjárstreymi slíkra bréfa. Ef skuldabréf er hins vegar verðtryggt eru ákvæðisvextir raunvextir bréfsins og vaxta- og höfuðstólsgreiðslur tengdar vísitölu neysluverðs (e. consumer price index). Verðbólga hefur því áhrif á fjárstreymi slíkra bréfa. Með verðtryggingu er tryggt að endurgreiðslur í framtíðinni haldi verðgildi sínu frá þeim degi, sem lán er veitt eða sparnaður hefst.

Virðismat skuldabréfa

Virði skuldabréfa er reiknað á sama hátt og virði fyrirtækja í jöfnu 1–1, þ.e. að núvirða áætlað fjárstreymi til dagsins í dag miðað við ákveðna ávöxtunarkröfu.

5.1

V_{B} = \sum_{t = 1}^{n} \frac{I N T}{(1 + r_{d})^{t}} + \frac{M}{(1 + r_{d})^{n}} = I N T \cdot (\frac{1 - (1 + r_{d})^{- n}}{r_{d}}) + \frac{M}{(1 + r_{d})^{n}}

V_B = virði skuldabréfs
INT = vaxtagreiðslur bréfs á hverju tímabili
r_d = ávöxtunarkrafa skuldabréfsins

M = nafnverð bréfs
n = fjöldi tímabila

Dæmi 5-1

Áhættusæknir ehf. gefa út vaxtagreiðslubréf til 15 ára með árlegum greiðslum og 10% nafnvöxtum. Nafnverð bréfsins er 1.000.000 kr. og ávöxtunarkrafan 15%. Hvert er virði bréfsins?

Árleg vaxtagreiðsla er 10% · 1.000.000 = 100.000 kr. og fyrirtækið getur því selt bréfið fyrir 100.000 · ((1 - (1+0,15)^-15)/0,15) + 1.000.000 / (1+0,15)¹⁵ ≈ 707.632 kr.

Sett upp í Microsoft ® Excel

Dæmi 5–1 má einnig leysa með PV fallinu í Excel á eftirfarandi hátt:
=PV(rate; nper; pmt; fv)
=PV(15%; 15; -100000; -1000000)
RATE er ávöxtunarkrafan, NPER tímabilafjöldinn, PMT vaxtagreiðslan og FV nafnverð bréfsins.

Þegar ávöxtunarkrafa skuldabréfa er hærri en nafnvextir þeirra, eins og hjá Áhættusæknum ehf., seljast þau með afföllum (e. bond discount). Þegar krafan er hins vegar lægri, þá seljast bréfin á yfirverði (e. bond premium).

Ávöxtun til lokagjalddaga (e. yield to maturity, YTM)

Sú ávöxtun sem vænst er af skuldabréfi ef því er haldið til lokagjalddaga.

Dæmi 5-2

Áhættufælnir ehf. gefa út vaxtagreiðslubréf til 15 ára með árlegum greiðslum og 10% nafnvöxtum. Nafnverð bréfsins er 1.000.000 kr., en bréfið er selt fyrir 1.518.983 kr. Hver er ávöxtun til lokagjalddaga?

Ávöxtunarkrafan, r_d, úr jöfnu 5–1 er nú fundin með notkun RATE fallsins í Excel. =RATE(nper; pmt; pv; fv) =RATE(15; -100000; 1518983; -1000000) skilar 5% ávöxtunarkröfu, sem er ávöxtunin til lokagjalddaga.

Ólíkt skuldabréfum Áhættusækinna ehf. er ávöxtunarkrafan á skuldabréfum Áhættufælinna ehf. lægri en nafnvextirnir, enda eru bréf þeirra seld á yfirverði.

Ávöxtun til innköllunar (e. yield to call, YTC)

Skuldabréf með innköllunarákvæði (e. call provision) heimilar útgefanda að kalla bréfin inn og greiða upp lán fyrir lokagjalddaga. Ef vextir lækka, þá getur útgefandi þannig endurfjármagnað sig á betri kjörum, en gæti í staðinn þurft að greiða eiganda bréfsins uppgreiðslugjald (e. call premium) sem er oftast eins árs afborgun vaxta. Ávöxtun til innköllunar má finna með því að leysa r_d út úr eftirfarandi jöfnu:

5.2

V_{B} = \sum_{t = 1}^{n} \frac{I N T}{(1 + r_{d})^{t}} + \frac{I n n k ö l l u n a r v e r ð}{(1 + r_{d})^{n}}

V_B = virði skuldabréfs
INT = vaxtagreiðslur bréfs á hverju tímabili
r_d = ávöxtunarkrafa skuldabréfsins

M = nafnverð bréfs
n = fjöldi tímabila
Innköllunarverð = M + uppgreiðslugjald

Dæmi 5-3

Sveigjanlegir ehf. gefa út vaxtagreiðslubréf til 15 ára með árlegum greiðslum og 10% nafnvöxtum. Nafnverð bréfsins er 1.000.000 kr., en bréfið er selt fyrir 1.200.000 kr. Bréfið er innkallanlegt eftir 5 ár og uppgreiðslugjaldið 10% af höfuðstól.

a) Hver er ávöxtun til lokagjalddaga?b) Hver er ávöxtun til innköllunar?

a) Ávöxtunarkrafan, r_d, úr jöfnu 5–1 er nú fundin með RATE fallinu. =RATE(15; -100000; 1200000; -1000000) skilar 7,71% ávöxtunarkröfu, sem er ávöxtunin til lokagjalddaga.

b) Ávöxtunarkrafan, r_d, úr jöfnu 5–2 er nú fundin með RATE fallinu. =RATE(5; -100000; 1200000; -1100000) skilar 6,88% ávöxtunarkröfu, sem er ávöxtunin til innköllunar.

Núverandi ávöxtun (e. current yield)

Skilgreind sem árleg vaxtagreiðsla á móti núverandi verði. Núverandi ávöxtun er því mælikvarði á fjárstreymi skuldabréfa, en tekur ekki tillit til gengisávöxtunar (e. capital gains yield). Heildar ávöxtunarkrafa skuldabréfa, r_d, eins og hún kemur fyrir í jöfnu 5-1, er því samsett úr bæði núverandi ávöxtun og gengisávöxtun.

Lánshæfismatsstofnanir meta skuldaraáhættu útgefenda og gefa þeim einkunnir byggða á sínum athugunum. Þrjár stærstu stofnanirnar af þessu tagi eru reknar af (1) Standard & Poor‘s, (2) Moody‘s Corporation, og (3) Fitch Group. Hér má sjá hvernig einkunnir þessara stofnana eru skilgreindar:

Moody's		S&P		Fitch		Lýsing á ensku
Langtíma	Skammtíma	Langtíma	Skammtíma	Langtíma	Skammtíma	Lýsing á ensku
Aaa	P-1	AAA	A-1+	AAA	F1+	Prime
Aa1		AA+		AA+		High grade
Aa2		AA		AA
Aa3		AA-		AA-
A1		A+	A-1	A+	F1	Upper medium grade
A2		A	A-1	A	F1
A3	P-2	A-	A-2	A	F2
Baa1	P-2	BBB+	A-2	BBB+	F2	Lower medium grade
Baa2	P-3	BBB	A-3	BBB	F3
Baa3	P-3	BBB-	A-3	BBB	F3
Ba1	Not prime	BB+	B	BB+	B	Non-investment grade / speculative / junk
Ba2		BB		BB
Ba3		BB-		BB-
B1		B+		B+		Highly speculative
B2		B		B
		B3		B-
Caa1		CCC+	C	CCC	C	Substantial risks
Caa2		CCC				Extremely speculative
Caa3		CCC				In default with little prospect for recovery
Ca		CC
Ca		C
C		D	/	DDD	/	In default
/				DD
/				DD

Ársreikningurinn

Efnahagsreikningum fyrirtækja er gjarnan lýst myndrænt eins og á mynd 6–1, en þar sést hvernig eignir = skuldir + eigið fé og að eignum megi skipta í veltufjármuni (VF) og fastafjármuni (FF) og skuldum í skammtímaskuldir (SS) og langtímaskuldir (LS).

Til að finna rekstrarfjármagn (e. operating capital, OC) er efnahagsreikningnum skipt upp eins og á mynd 6–2, en þar gildir að A+B = C+D og því einnig að A–C = D–B.

6.1

Rekstrarfjármagn (OC) =A - C = Rekstrartengdar eignir - Rekstrartengdar skuldir

6.2

Nettó fjármagn frá fjárfestum =D - B = Brúttó fjármagn frá fjárfestum - Eignir ótengdar rekstri

Rekstrarhagnaður eftir skatta (net operating profit after taxes, NOPAT) er sá hagnaður sem fyrirtæki myndi skila ef það hefði engar skuldir og ætti engar fjáreignir (e. financial assets).

6.3

Rekstrarhagnaður eftir skatta (NOPAT) =EBIT·(1-skatthlutfall)

EBIT = Rekstrarhagnaður (earnings before interests and taxes)

Það fjárstreymi sem hægt er að ráðstafa til allra fjárfesta eftir að fyrirtæki hefur fjárfest nægilega mikið í rekstrarfjármagni (OC) til að viðhalda áframhaldandi rekstri, kallast frjálst fjárstreymi (e. free cash flow, FCF).

6.4

Frjálst fjárstreymi (FCF) =NOPAT - nettó fjárfestingar í OC = NOPAT - brúttó fjárfestingar í OC + afskriftir

Til að sjá hversu vel fyrirtæki nýtir rekstrarfjármagnið sitt til að skapa hagnað, þá er skoðuð arðsemi rekstrarfjármagns (e. return on invested capital, ROIC).

6.5

Arðsemi rekstrarfjármagns (ROIC) =

\frac{N O P A T}{O C}

Í virðisstjórnun er einn algengasti mælikvarðinn hagrænn virðisauki (e. economic value added, EVA), en hann mælir áhrif fjárfestinga, fjármagnskostnaðar og rekstrarins á virði fyrirtækja.

6.6

Hagrænn virðisauki (EVA) =

N O P A T - (O C \cdot W A C C) = O C \cdot (R O I C - W A C C)

Veginn fjármagnskostnaður (WACC) verður skoðaður nánar í 8. hluta, en í jöfnu 6–6 sést hvernig fyrirtæki eykur virði sitt aðeins ef ROIC > WACC.

Kennitölur í ársreikningum

Kennitölum í ársreikningum verður hér skipt upp í fimm flokka. (1) Arðsemi, (2) greiðsluhæfi eða geta fyrirtækis til að greiða skuldir, (3) skuldsetningarhlutföll eða fjárhagslegur styrkur fyrirtækis og vaxtarmöguleikar, (4) nýting fjármagns, og (5) markaðsvirði.

Arðsemi (e. profitability ratios)

7.1

Arðsemi eigin fjár (e. return on equity, ROE) =Hagnaður/Meðalstaða eigin fjár

7.2

Arðsemi heildareigna (e. return on assets, ROA) =Hagnaður/Meðalstaða eigna

7.3

Hagnaðarhlutfall (e. profit margin) =Hagnaður/Sala

7.4

Brúttó ágóða hlutfall (e. gross profit margin) =Brúttó ágóði/Sala

7.5

Arðgreiðsluhlutfall (e. payout ratio) =Arður/Hagnaður

Greiðsluhæfi (e. liquidity ratios)

7.6

Veltufjárhlutfall (e. current ratio) =Veltufjármunir/Skammtímaskuldir

7.7

Lausafjárhlutfall (e. quick ratio, acid-test) =Kvikir veltufjármunir/Skammtímaskuldir

Kvikir veltufjármunir = Veltufjármunir - Vörubirgðir

7.8

Hlutfall handbærs fjár (e. cash ratio) =(Handbært fé + skammtímaverðbréf)/Skammtímaskuldir

7.9

Sjóðstreymi á móti skammtímaskuldum (e. current cash debt coverage ratio) =Handbært fé frá rekstri/Meðalstaða skammtímaskulda

7.10

Gæði hagnaðar (e. quality of earnings) =Handbært fé frá rekstri/Hagnaður

Skuldsetningarhlutföll (e. coverage ratios)

7.11

Hlutfall skulda á móti eignum (e. debt to assets ratio) =Heildarskuldir/Heildareignir

7.12

Eiginfjárhlutfall (e. equity ratio) =Eigið fé/Heildareignir

7.13

Vaxtaþekja (e. times interest earned, TIE) =(Rekstrarhagnaður (EBIT))/Vaxtagjöld

7.14

Skuldaþekja handbærs fjár frá rekstri (e. cash debt coverage ratio) =Handbært fé frá rekstri/Meðalstaða heildarskulda

Nýting fjármagns (e. activity ratios)

7.15

Veltuhraði eigna (e. asset turnover ratio) =Rekstrartekjur/Meðalstaða heildareigna

7.16

Veltuhraði birgða (e. inventory turnover ratio) =Kostnaðarverð seldra vara/Meðalstaða birgða

7.17

Veltuhraði viðskiptakrafna (e. receivables turnover ratio) =(Heildarsala - Staðgreiðslusala)/Meðalstaða viðskiptakrafna

7.18

Veltuhraði viðskiptaskulda (e. accounts payable turnover) =Kostnaðarverð seldra vara/Meðalstaða viðskiptaskulda

Markaðsvirði (e. market value ratios)

7.19

V/H hlutfall (e. price/earnings ratio, P/E ratio) =Markaðsverð hlutar/Hagnaður á hlut

7.20

V/I hlutfall (e. market/book ratio) =Markaðsvirði/Eigið fé

7.21

Bókfært verð á hlut (e. book value per share, BVPS) =Eigið fé almennra hluthafa/Fjöldi útistandandi almennra hluta

7.22

A/V hlutfall (e. dividend yield) =Arðgreiðsla/Markaðsverð

7.23

Hagnaður á hlut (e. earnings per share, EPS) =Hagnaður/Meðalstaða útistandandi hluta

7.24

Innra virði hlutafjár (e. internal value of shares) =Eigið fé/Hlutafé

7.25

PEG hlutfall (e. price/earnings to growth ratio, PEG ratio) =(V/H hlutfall)/Vöxtur hagnaðar í %

Fjármagnskostnaður

Veginn fjármagnskostnaður (e. weighted average cost of capital, WACC) er meðalkostnaður fyrirtækja við öflun fjármagnsins sem þau nota til að standa undir rekstri.

8.1

Veginn fjármagnskostnaður (WACC) =

w_{d} r_{d} (1 - T) + w_{p s} r_{p s} + w_{c e} r_{s}

w_d, w_ps og w_ce = vogtölur fyrir skuldir (e. debt, d), forgangshlutabréf (e. preferred stock, ps) og hlutafé (e. common equity, ce). Því gildir að w_d + w_ps + w_ce = 1
r_d = ávöxtunarkrafa skuldabréfa
T = skatthlutfall

r_ps = ávöxtunarkrafa forgangshlutabréfa
r_s = ávöxtunarkrafa hlutafjár

Hægt er að reikna r_s á ýmsa vegu, en hér verða nefndar tvær leiðir. Annars vegar að nota fjármunaverðlíkanið (CAPM) og beita jöfnu verðbréfamarkaðslínunnar (SML) (sjá jöfnu 4–2):

8.2

r_{s} = r_{R F} + (r_{M} - r_{R F}) \cdot b_{s} = r_{R F} + (R P_{M}) \cdot b_{s}

r_s = ávöxtunarkrafa hlutabréfs s
r_M = ávöxtunarkrafa markaðssafnsins
r_RF = vextir af ríkisvíxlum (e. risk-free rate of return)

RPM = r_M - r_RF = áhættuþóknun markaðarins
b_s = betagildi hlutabréfs s
(r_M - r_RF · b_s = áhættuþóknun hlutabréfs s

Hins vegar að nota vaxtarlíkan Gordons (e. Gordon growth model) og beita eftirfarandi jöfnu:

8.3

r_{s} = \frac{D_{0} \cdot (1 + g)}{P_{0}} + g = \frac{D_{1}}{P_{0}} + g

D₀ = síðasta arðgreiðsla
D₁ = vænt arðgreiðsla eftir 1 ár
P₀ = verð á hlutabréfi s í dag
g = væntur vöxtur arðgreiðslna

Dæmi 8-1

Hlutabréf í Stórfyrirtæki hf. eru metin á 30 kr. á hlut og greiddi það út arð að fjárhæð 3 kr. á hlut á síðasta ári. Væntur vöxtur arðgreiðslna er 5%.
Hver er ávöxtunarkrafa hlutabréfa í Stórfyrirtæki hf.?

Notum vaxtalíkan Gordons. D₀ = 3 kr. og D₁ = 3 · (1+5%) = 3,15 kr. Ávöxtunarkrafa hlutabréfa, r_s, er því: r_s = 3,15/30 + 5% = 15,5%

Hægt er að afla eigin fjár t.d. með því að kyrrsetja hagnað fyrri ára eða afla nýs hlutafjár á hlutabréfamarkaði. Seinni leiðinni fylgir þó viðskiptakostnaður (e. floatation cost, F), sem þarf að taka tillit til við útreikning á `r_s`.

8.4

r_{e} = \frac{D_{1}}{P_{0} (1 - F)} + g

r_e = ávöxtunarkrafa nýs hlutafjár (e. external equity, e)
D₁ = vænt arðgreiðsla eftir 1 ár
P₀ = verð á hlutabréfi s í dag

F = viðskiptakostnaður
g = væntur vöxtur arðgreiðslna

Verðmat fyrirtækja

Eins og mynd 6–2 sýnir skiptast eignir fyrirtækja í A, rekstrartengdar eignir (e. operating assets) og B, eignir ótengdar rekstri (e. non-operating assets). Virði rekstrarins (e. value of operations, V_op) er summa alls frjálsa fjárstreymisins (FCF) frá rekstrartengdu eignunum núvirt með vegnum fjármagnskostnaði (WACC).

9.1

V_{o p} = \sum_{t = 1}^{\infty} \frac{F C F_{t}}{(1 + W A C C)^{t}} = \frac{F C F_{1}}{(1 + W A C C)^{1}} + \frac{F C F_{2}}{(1 + W A C C)^{2}} + \dots + \frac{F C F_{\infty}}{(1 + W A C C)^{\infty}}

D₀ = síðasta arðgreiðsla
D₁ = vænt arðgreiðsla eftir 1 ár
P₀ = verð á hlutabréfi s í dag
g = væntur vöxtur arðgreiðslna

Heildarvirði fyrirtækis (e. total value of company) má sjá á mynd 9–1 og er samsett úr virði rekstrarins, V_op, að viðbættu virði eigna ótengdar rekstri.

9.2

Heildarvirði fyrirtækis (e. total value of company) =V_op + virði eigna ótengdar rekstri (e. value of non-operating assets)

Markaðsvirði eigin fjár (e. market value of equity) er síðan heildarvirði fyrirtækis að frádregnu virði skulda og forgangshlutabréfa.

9.3

Markaðsvirði eigin fjár (e. market value of equity) =Heildarvirði fyrirtækis - Virði skulda of forgangshlutabréfa

Bókfært virði eigin fjár má síðan finna í ársreikningi fyrirtækisins, en því má einnig lýsa svona:

9.4

Bókfært virði eigin fjár (e. book value of equity) =Markaðsvirði eigin fjár - Virðisauki markaðarins (e. market value added, MVA)

Fjármálahugtök

Fjármálastjórnun

Vextir

Flatir vextir (e. simple interest)

Dæmi 2-1

Lausnin

Vaxtavextir (e. compound interest)

Dæmi 2-2

Lausnin

Tímabilsvextir (e. periodic compounding)

Dæmi 2-3

Lausnin

Samfelldir vextir (e. continuous compounding)

Dæmi 2-4

Lausnin

Virkir ársvextir (e. effective annual rate)

Dæmi 2-5

Lausnin

Raunvextir (e. real interest rate)

Markaðsvextir (e.market interest rates)

Tímavirði peninga

Tímalínan

Framtíðarvirði (e. future value)

Dæmi 3-1

Lausnin

Núvirði (e. present value)

Dæmi 3-2

Lausnin

Jafngreiðslur (e. annuity)

Framtíðarvirði jafngreiðsluraðar:

Núvirði jafngreiðsluraðar:

Núvirði eilífðar jafngreiðslna (e. perpetuity):

Áhætta og ávöxtun

Áhætta verðbréfa

Samband áhættu og ávöxtunar

Dæmi 4-1

Lausnin

Hagkvæm verðbréfasöfn (e. efficient portfolios)

Fama-French three-factor model

Önnur verðlíkön

Skuldabréf

Tegundir skuldabréfa

Eingreiðslubréf (e. zero-coupon bond)

Kúlubréf (e. bullet bond)

Vaxtagreiðslubréf (e. coupon bond)

Jafngreiðslubréf (e. annuity)

Bréf með föstum afborgunum (e. fixed principal bond)

Eilífðarbréf (e. perpetuity)

Verðtryggð skuldabréf (e. inflation-indexed bonds)

Virðismat skuldabréfa

Dæmi 5-1

Lausnin

Ávöxtun til lokagjalddaga (e. yield to maturity, YTM)

Dæmi 5-2

Lausnin

Ávöxtun til innköllunar (e. yield to call, YTC)

Dæmi 5-3

Lausnin

Núverandi ávöxtun (e. current yield)

Ársreikningurinn

Kennitölur í ársreikningum

Arðsemi (e. profitability ratios)

Greiðsluhæfi (e. liquidity ratios)

Skuldsetningarhlutföll (e. coverage ratios)

Nýting fjármagns (e. activity ratios)

Markaðsvirði (e. market value ratios)

Fjármagnskostnaður

Dæmi 8-1

Lausnin

Verðmat fyrirtækja